史記卷26 曆書
現代人有iPhone，按一下，日曆月曆年曆都有了，兩、三千年前，人類靠什麼來計算時間、日子？另有個有趣的問題？一個一歲的小孩需要知道今天是幾年幾月幾日嗎？答案顯然是否定的。那麼？為什麼成年人會需要知道年月日？這種種疑問，可能大多數人都沒有過，或者可能在好奇心強的孩提時有過問號，但很快地就被明天的考試淹沒了。人失去了好奇心，是件很可惜的事情。
幸好，兩千年前有位名為司馬遷的好奇寶寶，上自天文下至地理，經濟政治，他都懷抱著無所不奇的童玩之心。因而在其五十萬字著作「史記」中留下了一篇「曆書」，記載了當時的人如何記年算月，可惜只有千餘字。「曆書」後所附的曆書甲子篇，詳列了七十六年一迴圈的古代曆法，雖為後人加入，但應距司馬遷年代不遠，由這個曆法，可以瞭解到兩千年前的人類已經十分進步了，因而，史記曆書的記錄，彌足珍貴。
曆書甲子篇所記的就是我們今天的農曆，也就是我們小時候最喜歡的過年，可以放鞭炮、領壓歲錢的年所遵循的農曆。同時，也記下了陽曆丶也就是現在世界通行的西曆。記錄是用數學「餘數」的方式，分別以「大餘」、「小餘」記下農曆丶陽曆，因而，也成了兩者的對比。以下就是其理論分析。
這個一年一年的計算是由最基本的為一陽曆年有365又1/4日及一農曆年有12又7/19個月起算（詳見黃武雄著「中國數學史簡說」一文）。曆書甲子篇大餘、小餘的計算如下。
一陽曆年有365又1/4日起算，76年迴圈一次，稱為一蔀（音部），所以：
一蔀（音部）有76年。
76年 X 365 1/4日/年 = 27759日。
76年分四章，每章19年有七個閏月，所以：
一蔀（音部）有28個閏月。
4 章/蔀 x 7 個閏月/章 = 28 個閏月 / 蔀。
（ 76 年 x 12 個月 / 年 ） + 28個個閏月 / 蔀 = 940個月。
一蔀（音部）有27759日。一蔀（音部）總共有940個月。所以：
76年迴圈的每個月有29又 499 / 940天。
27759日 / 940個月 = 29又 499 / 940天。
每十二個月，共有354 又 348 / 940 天。一農曆年是 354 又 348 / 940 天。
12個月 x 29又 499 / 940天 = 354 又 348 / 940 天。
經由以上基本資料，「曆書甲子篇」使用「大餘」、「小餘」記錄了每一個農曆年及陽曆年，先簡略說明史記卷26、曆書中的「曆書甲子篇」開始幾句：「十二無大餘，無小餘；無大餘，無小餘；焉逢攝提格太初元年。」：
第一句「十二」表示這一年有12個月，並非閏年的13個月
第二句「無大餘，無小餘；」是記錄農曆
第三句「無大餘，無小餘；」是記錄陽曆
第四句「焉逢攝提格太初元年」講的是年份，焉逢攝提格是甲寅年，太初元年是漢武帝太初元年（元封七年，西元前104年），這是曆書甲子篇開始的時候，也是漢武帝重整曆法之時。
「曆書甲子篇」記錄農曆年及陽曆年很直覺，基本上，陽曆就是每年加365又1 /4天，農曆每年加 354 又 348/940 天。
陽曆每年加365又1 /4天，再將整數部份除以60後的餘數放在「大餘」; 分數部份，分母擴分為32，將分子放在「小餘」（例如1 /4擴分為8 / 32，8放在「小餘」）。
農曆每年加 354 又 348/940 天，再將整數部份除以60後的餘數放在「大餘」；分數部份，分子除以 940 放在「小餘」（例如 348 / 940， 348 放在「小餘」）。接下來是經由「曆書甲子篇」前四年的「大餘」、「小餘」而推演出公式，並列出和「曆書甲子篇」完全一致的「76年一迴圈」的「大餘」、「小餘」。複雜的部份是處理閏月丶閏年。
以下是先比對試算「曆書甲子篇」前四年的大餘、小餘後，再寫出公式並列出76年一迴圈的大餘、小餘。
十二
無大餘，無小餘；
無大餘，無小餘；
焉逢攝提格太初元年。
這一段是講太初元年（元封七年，西元前104年）起算，所以這一年有十二個月，第二句「無大餘，無小餘」表示計算農曆的大餘、小餘都沒有；第三句「無大餘，無小餘」表示計算陽曆的大餘、小餘也沒有。
十二
大餘五十四，小餘三百四十八；
大餘五，小餘八；
端蒙單閼（音餓）二年。
過了一年，因為這一年並非閏月（見19年閏月年的第2年或見76年閏月年的第2年），所以這一年有十二個月。
算算農曆的「大餘」、「小餘」：去年大餘是0小餘也是0，加上一農曆年有354 又 348 / 940 天，成為354 又 348 / 940。
先看大餘，354去掉300 （60的整數倍），剩54，這是大餘五十四。
再看小餘， 348 / 940 天中的348就是小餘三百四十八。
所以，（第2年）農曆是大餘五十四，小餘三百四十八；
算算陽曆的「大餘」、「小餘」：去年大餘是0小餘也是0，加上一陽曆年為365又1/4 天，成為365又1/4 天。
先看大餘， 365天去掉360（60的整數倍），剩5，這是大餘五。
再看小餘， 365又1/4日也可寫為365又8 / 32日，8 / 32日中的8就是小餘八。
所以，（第2年）陽曆是大餘五，小餘八；
閏十三
大餘四十八，小餘六百九十六；
大餘十，小餘十六；
游兆執徐三年。
又過了一年，因為這一年是閏月年（見19年閏月年的第3年或見76年閏月年的第3年），所以這一年有十三個月。
農曆：
由（第2年）大餘五十四，54+354 =408，408去掉60的整數倍），剩 48；得出今年大餘四十八。由（第2年）小餘三百四十八，348 + 348 = 696；得出今年小餘六百九十六。
陽曆：
（第4年）史記卷26、曆書中的曆書甲子篇，原文有：十二大餘十二，小餘六百三；大餘十五，小餘二十四；彊梧大荒落四年。
十二
大餘十二，小餘六百三；
大餘十五，小餘二十四；
彊梧大荒落四年。
農曆：
上一年（第3年）大餘四十八，因為去年農曆為閏年，所以除了加354 又 348 / 940天外，需多加一個月 29又 499/940天。以去年的「大餘四十八，小餘六百九十六」轉化成數學式48又 696/940，將三者48又 696/940丶354 又 348 / 940丶29又 499/940相加，成為431又1543/940，也就是432又603/940。而且（去年小餘696 + 348 + 499 後超過 940 ），所以，432去掉60的整數倍，剩 12；得出今年大餘十二。由603/940；得出今年小餘六百三。
陽曆：
由上一年（第3年）大餘十，10+5= 15；得出今年大餘十五。由上一年（第3年）小餘十六，16 + 8 = 24；得出今年小餘二十四（若此數字成為32，則需進位，也就是大餘加1，並將小餘歸0）。
（第5年以後） 史記卷26、曆書中的曆書甲子篇均有原文，不再詳列，先列出「計算農曆的大餘、小餘公式」和「計算陽曆的大餘、小餘公式」，再用excel依此公式製作了一個76年的大餘小餘表，如下。
計算農曆的大餘、小餘公式：
大餘：
如果 （ 前一年為閏年 ）
則：
如果 （ 去年小餘 + 348 + 499 後超過 940 ）
則今年大餘 = （ 1+ 去年大餘 + 354 + 29 ） mod 60 「mod 60意思為除以60後的餘數」
否則今年大餘 = （ 去年大餘 + 354 + 29 ） mod 60 「mod 60意思為除以60後的餘數」
否則：
如果 （ 去年小餘 + 348 後超過 940 ）
則：
今年大餘 = （ 1 + 去年大餘 + 354 ） mod 60 「mod 60意思為除以60後的餘數」
否則：
今年大餘 = （ 去年大餘 + 354 ） mod 60 「mod 60意思為除以60後的餘數」
小餘：
如果 （ 今年為閏年 ）
則：
今年小餘 = （ 去年小餘 + 348 + 499 ） mod 940 「mod 940 意思為除以940 後的餘數」
否則：
今年小餘 = （ 去年小餘 + 348 ） mod 940 「mod 940 意思為除以940 後的餘數」
計算陽曆的大餘、小餘公式：
大餘：
如果 （ （ 前一年小餘 + 8 ） mod 32 為 0 ） 「mod 32 意思為除以 32 後的餘數」
則：
今年大餘 = （ 1+ 去年大餘 + 5 ） mod 60 「mod 60意思為除以60後的餘數」
否則：
今年大餘 = （ 去年大餘 + 5 ） mod 60 「mod 60意思為除以60後的餘數」
小餘：
今年小餘 = （ 去年小餘 + 8 ） mod 32 「mod 32 意思為除以 32 後的餘數」
用excel依上二組公式製作的一個76年的大餘小餘表：
這個表中大餘小餘數字和史記卷26、曆書中曆書甲子篇所記完全相同，黃色表示該年有閏月，現代有excel，兩千年前沒有這種工具，依「周髀（音比或避）算經」所言，古代有算籌（可用股溝搜「算籌」），但也令人很吃驚了。
注意，在76年的下一年77年，其實大餘小餘並未歸零，事實上需1520年，也就是20個76年大餘小餘才會歸零，詳見農曆丶陽曆1520年重合一次。
「表二」
|
年份
|
農曆的年月計算 |
陽曆的日及時辰 |
||
|
閏月年 |
大餘 |
小餘
|
大餘 |
小餘
|
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
2
|
54
|
348
|
5
|
8
|
|
3
|
48
|
696
|
10
|
16
|
|
4
|
12
|
603
|
15
|
24
|
|
5
|
7
|
11
|
21
|
0
|
|
6
|
1
|
359
|
26
|
8
|
|
7
|
25
|
266
|
31
|
16
|
|
8
|
19
|
614
|
36
|
24
|
|
9
|
14
|
22
|
42
|
0
|
|
10
|
37
|
869
|
47
|
8
|
|
11
|
32
|
277
|
52
|
16
|
|
12
|
56
|
184
|
57
|
24
|
|
13
|
50
|
532
|
3
|
0
|
|
14
|
44
|
880
|
8
|
8
|
|
15
|
8
|
787
|
13
|
16
|
|
16
|
3
|
195
|
18
|
24
|
|
17
|
57
|
543
|
24
|
0
|
|
18
|
21
|
450
|
29
|
8
|
|
19
|
15
|
798
|
34
|
16
|
|
20
|
39
|
705
|
39
|
24
|
|
21
|
34
|
113
|
45
|
0
|
|
22
|
28
|
461
|
50
|
8
|
|
23
|
52
|
368
|
55
|
16
|
|
24
|
46
|
716
|
0
|
24
|
|
25
|
41
|
124
|
6
|
0
|
|
26
|
5
|
31
|
11
|
8
|
|
27
|
59
|
379
|
16
|
16
|
|
28
|
53
|
727
|
21
|
24
|
|
29
|
17
|
634
|
27
|
0
|
|
30
|
12
|
42
|
32
|
8
|
|
31
|
35
|
889
|
37
|
16
|
|
32
|
30
|
297
|
42
|
24
|
|
33
|
24
|
645
|
48
|
0
|
|
34
|
48
|
552
|
53
|
8
|
|
35
|
42
|
900
|
58
|
16
|
|
36
|
37
|
308
|
3
|
24
|
|
37
|
1
|
215
|
9
|
0
|
|
38
|
55
|
563
|
14
|
8
|
|
39
|
19
|
470
|
19
|
16
|
|
40
|
13
|
818
|
24
|
24
|
|
41
|
8
|
226
|
30
|
0
|
|
42
|
32
|
133
|
35
|
8
|
|
43
|
26
|
481
|
40
|
16
|
|
44
|
20
|
829
|
45
|
24
|
|
45
|
44
|
736
|
51
|
0
|
|
46
|
39
|
144
|
56
|
8
|
|
47
|
33
|
492
|
1
|
16
|
|
48
|
57
|
399
|
6
|
24
|
|
49
|
51
|
747
|
12
|
0
|
|
50
|
15
|
654
|
17
|
8
|
|
51
|
10
|
62
|
22
|
16
|
|
52
|
4
|
410
|
27
|
24
|
|
53
|
28
|
317
|
33
|
0
|
|
54
|
22
|
665
|
38
|
8
|
|
55
|
17
|
73
|
43
|
16
|
|
56
|
40
|
920
|
48
|
24
|
|
57
|
35
|
328
|
54
|
0
|
|
58
|
59
|
235
|
59
|
8
|
|
59
|
53
|
583
|
4
|
16
|
|
60
|
47
|
931
|
9
|
24
|
|
61
|
11
|
838
|
15
|
0
|
|
62
|
6
|
246
|
20
|
8
|
|
63
|
0
|
594
|
25
|
16
|
|
64
|
24
|
501
|
30
|
24
|
|
65
|
18
|
849
|
36
|
0
|
|
66
|
13
|
257
|
41
|
8
|
|
67
|
37
|
164
|
46
|
16
|
|
68
|
31
|
512
|
51
|
24
|
|
69
|
55
|
419
|
57
|
0
|
|
70
|
49
|
767
|
2
|
8
|
|
71
|
44
|
175
|
7
|
16
|
|
72
|
8
|
82
|
12
|
24
|
|
73
|
2
|
430
|
18
|
0
|
|
74
|
56
|
778
|
23
|
8
|
|
75
|
20
|
685
|
28
|
16
|
|
76
|
15
|
93
|
33
|
24
|
在以上的推演過程中用到了農曆「閏月閏年」，農曆「閏年」並非如陽曆般每四年一次地簡單，農曆「閏年」是19年7次的循環，在本文最後的「註一」及「註二」中分別列出「農曆閏年19年7次的循環」及「農曆閏年76年28次的循環」。
以上就是兩千年前的曆法，使用了許多數學，可見「兩千年前的數學科學」早已經是中華文化基因的一部份。因為篇幅的關係，根據本文，推演出「農曆丶陽曆1520年重合一次」一文。
更多史記爆料，下回分解。
史記爆料目錄：三民新譯史記、目錄
「註一」 十九年7次農曆「閏年」的循環（參考黃武雄著「中國數學史簡說」一文，簡略摘要在這裡）。 參考「表一」：
理論基礎是：一年有365又1/4日（陽曆）而平均有12又7/19個月（農曆），365 1/4日除以 12又7/19個月 = 29又499/940日丶為一農曆月的天數。再用以下方法計算農曆閏月年。
每一年陽曆年365又1/4日比農曆年354又348/940日多出來10又827/940日，每年加10又827/940日後記在「表一」丶「陽曆減農曆一年後剩餘日數」那一欄。例如，第一年，為「整數日數」10及「尾數分數」827（「表一」1列），第二年為「整數日數」20及「尾數分數」1645（「表一」2列）。
「尾數分數」相加後若超過940，表示多了一天，要進位，讓「整數日數」多1丶同時「尾數分數」減940，記在「表一」丶「陽曆減農曆一年後剩餘日數（進位）」那一欄。例如，「表一」2列進位後的「整數日數進位」21及「尾數分數進位」714（「表一」2列）。
當「陽曆減農曆一年後剩餘日數（進位）」那一欄的「整數日數進位」及「尾數分數進位」）超過29又499/940時（例如「表一」3列，「整數日數進位」為32及「尾數分數進位」為601），則該年為閏月年（見第二欄「陽曆減農曆一年後剩餘日數（進位）」下各黃色部份，皆超過299又499/940，分別為第3、6、9、11、14、17、19年），下一年則進位至「陽曆減農曆一年後剩餘日數」那一欄，計算方式為：
將前一年的「整數日數進位」及尾數分數進位」減掉29又499/940 （一個農曆月的天數）。得出的結果記在最右欄「在農曆閏月年加入一個閏月29又499/940 日後剩餘」（例如「表一」3列的「在農曆閏月年加入一個閏月299又499/940 日後剩餘」欄，其下的「整數日數」為3及「尾數分數」為102）。
當產生閏月後，下一年的「陽曆減農曆一年後剩餘日數」那一欄的計算方式為（用「表一」3列作說明）：
使用「表一」3列丶「在農曆閏月年加入一個閏月299又499/940 日後剩餘」欄的「整數日數」（3）及「尾數分數」（102），分別加10及827，得到13及929，這就是新的「整數日數」及「尾數分數」，成為「表一」4列丶「陽曆減農曆一年後剩餘日數」那一欄的「整數日數」13及「尾數分數」929。
依此針算19年，得出「農曆閏年19年迴圈表」如「表一」。黃色表示該年有閏月，19年後回到「在農曆閏月年加入一個閏月29又499/940 日後剩餘」欄的「整數日數」及「尾數分數」均為0。
「表一」
|
19年循環
|
陽曆減農曆一年後剩餘日數 |
陽曆減農曆一年後剩餘日數（進位） |
在農曆閏月年加入一個閏月299又499/940日後剩餘 |
|||
|
整数日数
|
尾数分数
|
整数日数進位
|
尾数分数進位
|
整数日数
|
尾数分数
|
|
|
閏月年
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
10
|
827
|
10
|
827
|
0
|
0
|
|
2
|
20
|
1654
|
21
|
714
|
0
|
0
|
|
3
|
31
|
1541
|
32
|
601
|
3
|
102
|
|
4
|
13
|
929
|
13
|
929
|
0
|
0
|
|
5
|
23
|
1756
|
24
|
816
|
0
|
0
|
|
6
|
34
|
1643
|
35
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703
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6
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204
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7
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16
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1031
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17
|
91
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0
|
0
|
|
8
|
27
|
918
|
27
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918
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0
|
0
|
|
9
|
37
|
1745
|
38
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805
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9
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306
|
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10
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19
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1133
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20
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193
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0
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0
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11
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30
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1020
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31
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80
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1
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521
|
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12
|
11
|
1348
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12
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408
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0
|
0
|
|
13
|
22
|
1235
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23
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295
|
0
|
0
|
|
14
|
33
|
1122
|
34
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182
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4
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623
|
|
15
|
14
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15
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0
|
0
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16
|
25
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1337
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26
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397
|
0
|
0
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17
|
36
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1224
|
37
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284
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7
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725
|
|
18
|
17
|
1552
|
18
|
612
|
0
|
0
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19
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28
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1439
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29
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499
|
0
|
0
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計算法與十九年7次農曆「閏年」的循環同，依此得出76年28次農曆「閏年」循環表如下，黃色表示該年有閏月。
計算法與19年迴圈閏月年同，依此迴圈得出農曆閏年76年迴圈表如下（表三），黃色表示該年有閏月。注意19丶38丶57三年，「在農曆閏月年加入一個閏月29又499/940 日後剩餘」欄的「整數日數」及「尾數分數」均為0。
「 表三 」
|
年份
|
年份
|
陽曆減農曆一年後剩餘 |
陽曆減農曆一年後剩餘 |
在農曆閏月年加入一個閏月299又499/940日後剩餘 |
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|
76年循環
|
19年循環
|
整数日数
|
尾数分数
|
整数日数進位
|
尾数分数進位
|
整数日数
|
尾数分数
|
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閏月年
|
閏月年
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0
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0
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0
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0
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0
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0
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1
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1
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10
|
827
|
10
|
827
|
0
|
0
|
|
2
|
2
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20
|
1654
|
21
|
714
|
0
|
0
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3
|
3
|
31
|
1541
|
32
|
601
|
3
|
102
|
|
4
|
4
|
13
|
929
|
13
|
929
|
0
|
0
|
|
5
|
5
|
23
|
1756
|
24
|
816
|
0
|
0
|
|
6
|
6
|
34
|
1643
|
35
|
703
|
6
|
204
|
|
7
|
7
|
16
|
1031
|
17
|
91
|
0
|
0
|
|
8
|
8
|
27
|
918
|
27
|
918
|
0
|
0
|
|
9
|
9
|
37
|
1745
|
38
|
805
|
9
|
306
|
|
10
|
10
|
19
|
1133
|
20
|
193
|
0
|
0
|
|
11
|
11
|
30
|
1020
|
31
|
80
|
1
|
521
|
|
12
|
12
|
11
|
1348
|
12
|
408
|
0
|
0
|
|
13
|
13
|
22
|
1235
|
23
|
295
|
0
|
0
|
|
14
|
14
|
33
|
1122
|
34
|
182
|
4
|
623
|
|
15
|
15
|
14
|
1450
|
15
|
510
|
0
|
0
|
|
16
|
16
|
25
|
1337
|
26
|
397
|
0
|
0
|
|
17
|
17
|
36
|
1224
|
37
|
284
|
7
|
725
|
|
18
|
18
|
17
|
1552
|
18
|
612
|
0
|
0
|
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19
|
19
|
28
|
1439
|
29
|
499
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0
|
0
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20
|
1
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10
|
827
|
10
|
827
|
0
|
0
|
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21
|
2
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20
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1654
|
21
|
714
|
0
|
0
|
|
22
|
3
|
31
|
1541
|
32
|
601
|
3
|
102
|
|
23
|
4
|
13
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929
|
13
|
929
|
0
|
0
|
|
24
|
5
|
23
|
1756
|
24
|
816
|
0
|
0
|
|
25
|
6
|
34
|
1643
|
35
|
703
|
6
|
204
|
|
26
|
7
|
16
|
1031
|
17
|
91
|
0
|
0
|
|
27
|
8
|
27
|
918
|
27
|
918
|
0
|
0
|
|
28
|
9
|
37
|
1745
|
38
|
805
|
9
|
306
|
|
29
|
10
|
19
|
1133
|
20
|
193
|
0
|
0
|
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30
|
11
|
30
|
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|
31
|
80
|
1
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521
|
|
31
|
12
|
11
|
1348
|
12
|
408
|
0
|
0
|
|
32
|
13
|
22
|
1235
|
23
|
295
|
0
|
0
|
|
33
|
14
|
33
|
1122
|
34
|
182
|
4
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623
|
|
34
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15
|
14
|
1450
|
15
|
510
|
0
|
0
|
|
35
|
16
|
25
|
1337
|
26
|
397
|
0
|
0
|
|
36
|
17
|
36
|
1224
|
37
|
284
|
7
|
725
|
|
37
|
18
|
17
|
1552
|
18
|
612
|
0
|
0
|
|
38
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19
|
28
|
1439
|
29
|
499
|
0
|
0
|
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39
|
1
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10
|
827
|
10
|
827
|
0
|
0
|
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40
|
2
|
20
|
1654
|
21
|
714
|
0
|
0
|
|
41
|
3
|
31
|
1541
|
32
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601
|
3
|
102
|
|
42
|
4
|
13
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929
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13
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929
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0
|
0
|
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43
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5
|
23
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0
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0
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6
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1643
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703
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6
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7
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17
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0
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0
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9
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|
10
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|
1133
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0
|
0
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31
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50
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0
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22
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1235
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|
0
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0
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14
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33
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1122
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34
|
182
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53
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15
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14
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1450
|
15
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0
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0
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0
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37
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|
7
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|
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56
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18
|
17
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|
18
|
612
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0
|
0
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0
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10
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827
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0
|
0
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21
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0
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0
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6
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91
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7
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18
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17
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在閱讀曆書甲子篇最不易瞭解的是為何出現了每19年閏7個月一事，一年一年的計算是由最基本的為一陽曆年有365又1/4日及一農曆年有12又7/19個月起算，此事出自周髀（音比或避）算經，黃武雄著「中國數學史簡說」一文（前往其網頁）詳細說明，摘要如下：
「周髀（音比或避）算經」認為一年有365又1 /4日（陽曆）而平均有12又7/19個月（農曆），亦即每 19 年應有 7 個閏月。因而每個農曆月為29又499/940日。
365 1/4日除以 12又7/19個月 = 29又499/940日
月亮每個月所行平均度數為 13又7/19 度（一周以 365又1/4 度計算，這點有別於西方數學所採用的 360 度），求取 12 個月以後月亮所在的方位。那麼其問題便在於計算：
29又499/940日乘 13又7/19 度乘 12 除以 365又1/4 得到 12又17328/17860。此即月亮12個月後所在的方位。
17328/ 17860 乘 365又1/4 度= 354 又 6612/17860 ， 6612/17860 約分後為348 /940，所以，一年有354 又 348 /940日。
兩千年前的數學（史記卷26、曆書）：2010年07月26日星期一